拉伸试验测弹性模量结果的不确定度评定方法探讨

拉伸试验是材料力学性能测试的核心方法之一，弹性模量作为反映材料弹性变形 resistance 的关键指标，广泛应用于航空航天、机械制造等领域的设计与验证。然而，弹性模量测量结果受试样尺寸、试验设备、操作手法等多重因素影响，其不确定度评定直接决定结果的可靠性与可比性。本文结合拉伸试验的实际流程，从前期准备、来源识别到分量量化与合成，系统探讨弹性模量测量不确定度的评定方法，为试验人员提供可操作的实践指南。

明确不确定度评定的前期准备

开展不确定度评定前，需先明确三项核心内容：评定依据、被测量定义与试验条件记录。评定依据主要参考GB/T 228.1-2010《金属材料 拉伸试验 第1部分：室温试验方法》与JJF 1059.1-2012《测量不确定度评定与表示》，前者规范了拉伸试验的操作流程，后者提供了不确定度评定的通用规则。

被测量为弹性模量E，其计算公式为E = F×L₀/(A×ΔL)，其中F是弹性阶段的试验力（N），L₀是试样原始标距（mm），A是原始截面积（mm²），ΔL是标距内的弹性变形（mm）。需确保公式中的每个量均与试验操作一致，例如L₀需与引伸计标距匹配，ΔL需取应力-应变曲线线性段的变形量。

试验条件记录包括：试验机的型号（如CMT5105）、精度等级（如1级），引伸计的类型（如轴向引伸计）、标距（如50mm）与分辨力（如0.0001mm），试样的材料（如Q235钢）、尺寸（如φ10mm×100mm），试验温度（如23℃）、湿度（如50%RH）等。这些数据是后续识别不确定度来源的基础。

识别弹性模量测量的不确定度来源

弹性模量的不确定度来源可归纳为六类：试样尺寸测量误差、试验力测量误差、变形测量误差、操作误差、公式近似误差与环境因素。

试样尺寸误差来自直径（或宽度、厚度）与标距的测量，例如千分尺的读数误差会导致截面积A的计算偏差，游标卡尺的对准误差会影响标距L₀的准确性。试验力误差主要由试验机的力传感器精度决定，如1级试验机的力值示值误差为±1%，会直接传递到F的测量结果。

变形测量误差是影响弹性模量的关键因素，包括引伸计的示值误差、安装误差（如引伸计卡爪未紧贴试样）与分辨力限制。操作误差如试样夹持偏心（导致力的横向分量）、加载速率不稳定（超出标准规定的2-10MPa/s范围），会使应力-应变曲线偏离线性。

公式近似误差源于胡克定律的线性假设，实际材料在弹性阶段可能存在微小非线性，导致计算的E值略高于真实值。环境因素如温度变化（钢的弹性模量温度系数约-0.02%/℃）、湿度（对塑料等吸湿性材料影响显著），也会间接影响测量结果。

不确定度分量的量化基础

不确定度分量的量化分为A类与B类评定。A类评定通过重复观测计算统计不确定度，例如对同一试样重复5次拉伸试验，得到E值为200.1GPa、199.8GPa、200.0GPa、200.2GPa、199.9GPa，用贝塞尔公式计算单次测量标准偏差s(E)=0.173GPa，再除以√5得到A类标准不确定度u_A(E)=0.077GPa。

B类评定利用已有信息计算非统计不确定度，例如千分尺的最大允许误差为±0.001mm，假设误差均匀分布（所有值出现概率相等），则B类标准不确定度u_B(d)=0.001/√3≈0.00058mm。若已知误差服从正态分布（如试验机的长期稳定性数据），则用误差区间半宽除以包含因子k（95%置信概率对应k=1.96）。

需注意，A类与B类仅反映来源性质，并非精度高低。例如试样尺寸测量可同时采用A类（重复读数）与B类（设备误差）评定，再合成得到最终的尺寸不确定度。

试样尺寸测量的不确定度计算

以圆形试样为例，直径d的测量用千分尺，假设测量5次得到d=10.002mm、10.001mm、10.003mm、10.002mm、10.001mm，平均值d̄=10.0018mm，单次标准偏差s(d)=0.0008mm，A类不确定度u_A(d)=0.0008/√5≈0.00036mm；千分尺的最大允许误差为±0.001mm，B类不确定度u_B(d)=0.001/√3≈0.00058mm，合成u(d)=√(0.00036²+0.00058²)≈0.00068mm。

截面积A=πd²/4，根据传递定律，u(A)=|∂A/∂d|×u(d)= (πd/2)×u(d)，代入d=10mm得u(A)= (π×10/2)×0.00068≈0.0107mm²，相对不确定度u_rel(A)=u(A)/A=2×u(d)/d≈0.0136%。

标距L₀用游标卡尺测量，假设测量3次得L₀=50.00mm、50.01mm、49.99mm，平均值L̄₀=50.00mm，s(L₀)=0.01mm，u_A(L₀)=0.01/√3≈0.0058mm；游标卡尺的最大允许误差为±0.02mm，u_B(L₀)=0.02/√3≈0.0115mm，合成u(L₀)=√(0.0058²+0.0115²)≈0.013mm，相对不确定度u_rel(L₀)=0.013/50≈0.026%。

试验力与变形测量的不确定度分析

试验力F的测量误差来自试验机的精度，假设试验机为1级，满量程100kN，试验中弹性阶段的力F=50kN，根据标准，1级机的力值示值误差为±1%F，即±0.5kN，按均匀分布，u_B(F)=0.5/√3≈0.289kN，相对不确定度u_rel(F)=0.289/50≈0.578%。若重复测量5次F得50.1kN、49.9kN、50.0kN、50.2kN、49.8kN，平均值F̄=50.0kN，s(F)=0.173kN，u_A(F)=0.173/√5≈0.077kN，合成u(F)=√(0.289²+0.077²)≈0.299kN，相对≈0.598%。

变形ΔL的测量用引伸计，假设引伸计标距50mm，分辨力0.0001mm，最大允许误差±0.5%FS（FS=0.2mm，弹性阶段的典型变形），则MPE=±0.001mm，u_B(ΔL)=0.001/√3≈0.000577mm。重复测量5次ΔL得0.159mm、0.160mm、0.158mm、0.159mm、0.160mm，平均值ΔL̄=0.1592mm，s(ΔL)=0.00089mm，u_A(ΔL)=0.00089/√5≈0.0004mm，合成u(ΔL)=√(0.000577²+0.0004²)≈0.0007mm，相对不确定度u_rel(ΔL)=0.0007/0.1592≈0.44%。

操作与环境因素的不确定度处理

操作误差中的试样同轴度，若夹持时试样与试验机轴线夹角θ=1°（小角度近似cosθ≈1-θ²/2），则变形ΔL的相对误差≈θ²/2≈0.0152%，按均匀分布，u_rel(ΔL同轴)=0.0152%/√3≈0.0088%。可通过重复安装试样（5次）测量ΔL，计算标准偏差评定A类不确定度，例如5次ΔL的s(ΔL)=0.00089mm，u_A(ΔL同轴)=0.0004mm，相对≈0.252%。

加载速率波动，标准规定弹性阶段速率为2-10MPa/s，若实际速率波动±1MPa/s，假设速率增加1MPa/s导致E增加0.1%，则相对误差±0.1%，按均匀分布，u_rel(速率)=0.1%/√3≈0.0577%。

环境温度波动，钢的弹性模量温度系数α=-0.02%/℃，若试验温度波动±2℃，则ΔE/E=α×ΔT≈-0.04%，按均匀分布，u_rel(温度)=0.04%/√3≈0.0231%。

不确定度的合成与结果表达

弹性模量的相对合成标准不确定度u_rel(E)为各分量的平方和开根号，公式为：u_rel(E)=√(u_rel(F)²+u_rel(L₀)²+u_rel(A)²+u_rel(ΔL)²+u_rel(ΔL同轴)²+u_rel(速率)²+u_rel(温度)²)。

代入之前的数值：u_rel(F)=0.598%，u_rel(L₀)=0.026%，u_rel(A)=0.0136%，u_rel(ΔL)=0.44%，u_rel(ΔL同轴)=0.252%，u_rel(速率)=0.0577%，u_rel(温度)=0.0231%，计算得u_rel(E)=√(0.598²+0.026²+0.0136²+0.44²+0.252²+0.0577²+0.0231²)≈√(0.357+0.0007+0.0002+0.1936+0.0635+0.0033+0.0005)≈√(0.6188)≈0.786%。

假设E的平均值为200GPa，则合成标准不确定度u(E)=200×0.786%≈1.57GPa。扩展不确定度U=k×u(E)，k取2（对应95%置信概率），则U≈3.14GPa，约3GPa。

最终结果表达为：E=(200±3)GPa，k=2。需注意，结果中的不确定度应保留1-2位有效数字，与测量结果的精度匹配。